Урок №34 Тема: Тригонометричні нерівності

Нерівності, що містять sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x) з однієї сторони від знаку нерівностей (<,≤,>,≥) називають найпростішими тригонометричними нерівностями. Приклади найпростіших тригонометричних нерівностей мають вигляд:
sin(x)≤√2/2, cos(x)>-1/2, tg(x)<1, ctg(x)≥√3 і тому подібних.
Якщо маємо знаки < або > то нерівність називається строгою, якщо ≤ або ≥ то нерівність є нестрогою.
Розв'язати тригонометричну нерівність означає знайти множину значень аргументу "ікса", включаючи періодичність функцій, при яких виконується нерівність.
Важливо, щоб в синусах та косинусах права сторона за знаком нерівності не перевищувала за модулем одиниці. Інакше виходимо за межі ОДЗ цих функцій і такі нерівності не мають коренів. Тому спершу перевіряємо область допустимих значень, а далі розв'язуємо нерівність. Тангенс та котангенс не потрібно перевіряти на ОДЗ оскільки вони приймають як завгодно як великі, так і малі значення. Однак, вони мають розриви в точках вертикальних асимптот, що призводить до скорочення інтервалу розв'язків.
Під складними тригонометричними нерівностями мають на увазі такі, де аргумент міститься під модулем, коренем квадратним, з множником або ж маємо комбінацію тригонометричних функцій чи над нею виконуються певні дії (модуль, квадрат, корінь і т.д.)

Завдання 19.1 Розв'язати нерівність sin(x)<√2/2.
Розв'язання: Спершу перевіряємо праву частину нерівності на входження в ОДЗ синуса. Для косинуса таку перевірку теж робіть.
Здебільшого викладачі вимагають виконувати перевірку на ОДЗ функцій.
Оскільки умова виконується|√2/2|≤1, то розв'язок нерівності для синуса існує.
Далі є два методи розкриття нерівності:
Графічно з побудовою заданих функцій (їх не важко будувати) і з використанням одиничного кола.
Другий спосіб більш поширений на практиці, оскільки будувати одиничне коло і наносити на нього прямі куди простіше ніж повні графіки функцій.
Однак і про перший метод Ви повинні знати, та вміти знаходити розв'язки тригонометричних нерівностей.
І спосіб:
Побудуємо в одній системі координат графіки функцій y=sin(x) і y=√2/2 та виділимо проміжки, на яких графік функції y=sin(x) розташований нижче від графіка прямої y=√2/2.
Нижче, оскільки заданий знак нерівності строго менше.
Якщо нерівність нестрога, то точки перетину включаємо в розв'язок і дістаємо проміжок.

      Домашнє завдання

     Опрацювати конспект, №504 (Г.П. Бевз)